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Pelo menos 241 pessoas morreram nas prisões de El Salvador desde o início da "guerra contra gangues" do presidente Nayib 🏵 Bukele há dois anos, segundo a organização Humanitarian Legal Relief.
Ingrid Escobar, diretora da organização de direitos humanos disse que recebeu 🏵 500 relatos sobre mortes sob custódia do Estado mas confirmou cerca a metade dos casos. No ano passado o grupo 🏵 documentou 126 óbitos e apenas 50% deles foram registrados este mês
Em março de 2024, Bukele anunciou um "estado excepcional", renunciando 🏵 a muitos direitos constitucionais para combater as gangues que aterrorizaram o país centro-americano.
Desde então, El Salvador prendeu 80.000 pessoas – 🏵 mais de 1% da população do país - jogando-as na prisão com pouca evidência dos laços que elas têm às 🏵 gangues e quase sem acesso ao devido processo legal; as prisões foram comparada a câmaras para torturar algum jogo que ganha dinheiro de verdade condições horríveis
Segundo 🏵 o relatório da ONG, "das mortes destas 44% morreram de morte violenta e tortura grave; 29% por falta do atendimento 🏵 médico".
Enquanto o governo é acusado de cometer abusos algum jogo que ganha dinheiro de verdade massa dos direitos humanos naalgum jogo que ganha dinheiro de verdaderepressão, Bukele permanece altamente popular 🏵 no El Salvador porque as taxas do homicídio caíram acentuadamente após a detenção. A nação centro-americana passou da ser um 🏵 das mais perigosas países ao mundo para ter uma taxa menor assassinatos região!
Bukele montou essa popularidade na reeleição algum jogo que ganha dinheiro de verdade fevereiro, 🏵 apesar da constituição do país proibir os segundos mandatos para presidente.
O governo já teve que liberar 7 mil pessoas devido 🏵 à falta de evidências e o vice-presidente El Salvador disse algum jogo que ganha dinheiro de verdade janeiro a Associated Press, no qual "cometeu erros" nas 🏵 prisões.
O grupo de direitos humanos estima que das pessoas presas nos dois anos do regime exceção, 35% são inocentes e 🏵 afirma a 94% dos mortos não tinham filiação gang.
“A maioria eram trabalhadores, como comerciantes informais e motoristas de táxi ou 🏵 operários dos transportes informalmente; agricultores pescadores: pastores evangélicos que pregavam a terra do mar.
O Departamento de Justiça também exigiu 🏵 que o governo investigasse "homicídios" ocorrido nas prisões e “todos os desaparecimento dos detidos”.
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Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) algum jogo que ganha dinheiro de verdade que o conhecimento de eventos 🤶 passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.
Em particular, um martingale é uma sequência 🤶 de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança 🤶 do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente 🤶 observados.[1]
O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.
Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade 🤶 de falência.
Em contraste, algum jogo que ganha dinheiro de verdade um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo algum jogo que ganha dinheiro de verdade um tempo pode 🤶 ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.
Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as 🤶 cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.
Assim, o valor esperado do 🤶 próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o 🤶 do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.
Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico 🤶 do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.
É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações 🤶 perdidas.
Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.
Martingale é o sistema de apostas mais 🤶 comum na roleta.
A popularidade deste sistema se deve à algum jogo que ganha dinheiro de verdade simplicidade e acessibilidade.
O jogo Martingale dá a impressão enganosa de 🤶 vitórias rápidas e fáceis.
A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta algum jogo que ganha dinheiro de verdade uma 🤶 chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você 🤶 perder, dobramos e apostamos $ 2.
Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 🤶 1) de $ 3.4, por exemplo.
duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de 🤶 $ 1 na roleta.
Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).
Se 🤶 ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da 🤶 roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino [2].
Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de 🤶 estratégias de aposta popular na França do século XVIII.
[3][4] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo algum jogo que ganha dinheiro de verdade 🤶 que o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.
A estratégia fazia o apostador 🤶 dobrar algum jogo que ganha dinheiro de verdade aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além 🤶 de um lucro igual à primeira aposta.
Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, 🤶 a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como 🤶 algo certo.
Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que 🤶 a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma 🤶 vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas).
Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, 🤶 pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.
O conceito de martingale algum jogo que ganha dinheiro de verdade teoria das probabilidades foi introduzido por 🤶 Paul Lévy algum jogo que ganha dinheiro de verdade 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.
[5] O termo "martingale" foi introduzido algum jogo que ganha dinheiro de verdade 1939 🤶 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos.
[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por 🤶 Joseph Leo Doob, entre outros.
[8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]
Uma definição 🤶 básica de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis 🤶 aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo 🤶 n {\displaystyle n} ,
E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }
E ( 🤶 X n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, X n ) = X n .
{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid 🤶 X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}
Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente 🤶 observação.[10]
Sequências martingale algum jogo que ganha dinheiro de verdade relação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ]
Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 🤶 2 , Y 3 , ...
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...
} é considerada um martingale algum jogo que ganha dinheiro de verdade relação a outra sequência X 1 , X 🤶 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} se, para todo n {\displaystyle n} ,
E ( | Y n | ) 🤶 < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }
E ( Y n + 1 ∣ X 1 , .
.
.
, 🤶 X n ) = Y n .
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}
Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo algum jogo que ganha dinheiro de verdade 🤶 relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo 🤶 t {\displaystyle t} ,
E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }
E ( 🤶 Y t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t .
{\displaystyle 🤶 \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}
Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de 🤶 qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é 🤶 igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).
Em geral, um processo 🤶 estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingale algum jogo que ganha dinheiro de verdade relação a uma 🤶 filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se
Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de 🤶 probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}
espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ 🤶 ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma 🤶 _{\tau }}
função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ 🤶 t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}
E P ( | Y t | ) < + ∞ 🤶 ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}
Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) 🤶 = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} algum jogo que ganha dinheiro de verdade que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do 🤶 evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ 🤶 s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 🤶 ] É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual 🤶 os valores esperados são assumidos). É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale algum jogo que ganha dinheiro de verdade relação a uma medida, mas não 🤶 algum jogo que ganha dinheiro de verdade relação a outra. O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida algum jogo que ganha dinheiro de verdade relação à qual um processo 🤶 de Itō é um martingale.[12] Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ] Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número 🤶 de dimensões) é um exemplo de martingale. O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta 🤶 com que ele se envolver forem honestos. Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores. A cada iteração, 🤶 uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor. Para qualquer cor dada, a fração 🤶 das bolas na urna com aquela cor é um martingale. Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda 🤶 que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo 🤶 fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo 🤶 número de bolas não vermelhas alteraria. Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n} moeda honesta foi 🤶 jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : 🤶 n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda 🤶 for jogada. raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada. No caso de um martingale de Moivre, suponha que 🤶 a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} X n 🤶 + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -} Y n = ( 🤶 q / p ) X n . {\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.} Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , 🤶 ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,... \}} E [ 🤶 Y n + 1 ∣ X 1 , . . . , X n ] = p ( q / p ) 🤶 X n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / 🤶 p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p 🤶 ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X 🤶 n = ( q / p ) X n = Y n . {\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}} No teste de razão de 🤶 verossimilhança algum jogo que ganha dinheiro de verdade estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , 🤶 ... , X n {\displaystyle X_{1},... ,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}} Y n = ∏ i = 1 n 🤶 g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}} Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} 🤶 g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X 🤶 n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Suponha que uma ameba se divide algum jogo que ganha dinheiro de verdade duas 🤶 amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n 🤶 = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então { r X n 🤶 : n = 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}} é um martingale algum jogo que ganha dinheiro de verdade relação a { 🤶 X n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Uma série martingale criada por software. Em uma 🤶 comunidade ecológica (um grupo de espécies algum jogo que ganha dinheiro de verdade um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes algum jogo que ganha dinheiro de verdade uma área local), o 🤶 número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto 🤶 como uma sequência de variáveis aleatórias. Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia. Se { 🤶 N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { 🤶 N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}} Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas 🤶 [ editar | editar código-fonte ] Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos algum jogo que ganha dinheiro de verdade que a observação 🤶 atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | 🤶 X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},... ,X_{n}]} , mas, algum jogo que ganha dinheiro de verdade vez disto, a um limite superior ou inferior 🤶 à expectativa condicional. Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o 🤶 estudo das funções harmônicas. [15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X 🤶 τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall 🤶 s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta 🤶 f=0} , algum jogo que ganha dinheiro de verdade que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace. Dado um processo de movimento browniano W t 🤶 {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} 🤶 também é um martingale. Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , 🤶 . . . {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a E [ X n + 1 | X 1 , . . . , X 🤶 n ] ≥ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}. } Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E 🤶 [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t 🤶 . {\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ 🤶 f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n 🤶 {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} De forma análoga, 🤶 um supermartingale de tempo discreto satisfaz a E [ X n + 1 | X 1 , . . . , X n 🤶 ] ≤ X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}. } Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 🤶 X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t . {\displaystyle 🤶 {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 🤶 ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 🤶 X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} Exemplos de submartingales e 🤶 supermartingales [ editar | editar código-fonte ] Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale. Reciprocamente, todo processo estocástico que é 🤶 tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale. Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara 🤶 e perde $1 quando a moeda der coroa. Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara 🤶 com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 🤶 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Uma função convexa de um martingale é um submartingale 🤶 pela desigualdade de Jensen. Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador algum jogo que ganha dinheiro de verdade jogo de moeda honesta é um submartingale 🤶 (o que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n} Martingales e tempos de parada 🤶 [ editar | editar código-fonte ] Um tempo de parada algum jogo que ganha dinheiro de verdade relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , 🤶 X 2 , X 3 , ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de 🤶 que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau 🤶 =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ... , X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} 🤶 . A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência 🤶 até o momento e dizer se é hora de parar. Um exemplo na vida real pode ser o tempo algum jogo que ganha dinheiro de verdade que 🤶 um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele 🤶 pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com 🤶 base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16] Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se 🤶 apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X 🤶 t + 1 , X t + 2 , ... {\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},... } , mas não que isto seja completamente determinado pelo 🤶 histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} . Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no 🤶 parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir algum jogo que ganha dinheiro de verdade algumas das provas algum jogo que ganha dinheiro de verdade que tempos de parada são usados. Uma 🤶 das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale 🤶 e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) 🤶 t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle 🤶 X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale. O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, 🤶 incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale 🤶 algum jogo que ganha dinheiro de verdade um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.
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